设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b易线性相关。证明向量b能由向量组a1，a2线性表示。

admin2018-12-19 42

问题设向量组a₁，a₂线性无关，向量组a₁+b，a₂+b易线性相关。证明向量b能由向量组a₁，a₂线性表示。

选项

答案因为a₁，a₂线性无关，a₁+b，a₂+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k₁，k₂，使 k₁(a₁+b)+k₂(a₂+b)=0，则有(k₁+k₂)b=一k₁a₁一k₂a₂。又因为a₁，a₂线性无关，若k₁a₁+k₂a₂=0，则k₁=k₂=0，这与k₁，k₂不全为零矛盾，于是有 k₁a₁+k₂a₂≠0，(k₁+k₂)b≠0。综上k₁+k₂≠0，因此由(k₁+k₂)b=一ka₁一k₂a₂得 [*]，k₁，k₂∈R，k₁+k₂≠0。

解析

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