2. 考研
  3. 设3阶矩阵A= (Ⅰ)t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

设3阶矩阵A= (Ⅰ)t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

admin2020-02-28  68
问题 设3阶矩阵A=
(Ⅰ)t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；
(Ⅱ)t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．
选项
答案 (Ⅰ)A≌B[*]r(A)=r(B)． B=[*]，知r(B)=2． 显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，A≌B． (Ⅱ)｜λE－C｜=[*]=(λ－2)[(λ－2)2－1]=(λ－2)(λ－3)(λ－1)， 则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得 P－1CP=A=[*] ｜λE－A｜=[*]=(λ－t)[(λ－2)2－1] =(λ－t)(λ－3)(λ－1)． 当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得 Q－1AQ=A=P－1CP． 从而有 (QP－1)－1A(QP－1)=C，即A～C．
解析
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考研数学二

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