设3阶矩阵A= (Ⅰ)t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

admin2020-02-28 58

问题设3阶矩阵A=

(Ⅰ)t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；
(Ⅱ)t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

选项

答案 (Ⅰ)A≌B[*]r(A)=r(B)． B=[*]，知r(B)=2．显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，A≌B． (Ⅱ)｜λE－C｜=[*]=(λ－2)[(λ－2)²－1]=(λ－2)(λ－3)(λ－1)，则C有三个不同的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，且存在可逆矩阵P，使得 P^－1CP=A=[*] ｜λE－A｜=[*]=(λ－t)[(λ－2)²－1] =(λ－t)(λ－3)(λ－1)．当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得 Q^－1AQ=A=P^－1CP．从而有 (QP^－1)^－1A(QP^－1)=C，即A～C．

解析

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考研数学二

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