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  3. 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

admin2016-01-11  39
问题 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．
选项
答案记A=(α1,α2,α3,α4)，则[*] 于是当a=0或a=10时，α1,α2,α3,α4线性相关．当a=0时，α1为向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=-10时，对A施以初等行变换，有 [*] 由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1=β2－β3－β4，故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，且α1=一α2一α3一α4． [*] 当a=0时，r(A)=1，因而α1,α2,α3,α4线性相关，此时α2为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α2=3α1，α4=4α1．当a≠0时，再对B施以初等行变换，得 [*] 如果a≠一10，r(C)=4，从而r(A)=4，故α1,α2,α3,α4线性无关． 如果a=一10，r(C)=3，从而r(A)=3，故α1,α2,α3,α4线性相关，α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，且α1=一α2一α3一α4．
解析 本题考查向量组的线性相关性、极大线性无关组和线性表示．要求考生掌握向量组线性相关与线性无关的概念、向量线性表示的概念、向量组极大线性无关组的概念、向量组α1,α2,α3,α4线性相关α1,α2,α3，α4｜=0，向量组α1,α2,α3,α4线性相关r(α1,α2,α3,α4)＜4．
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考研数学二

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