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设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
admin
2016-01-11
65
问题
设4维向量组α
1
=(1+a,1,1,1)
T
,α
2
=(2,2+a,2,2)
T
,α
3
=(3,3,3+a,3)
T
,α
4
=(4,4,4,4+a)
T
,问a为何值时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?当α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),则[*] 于是当a=0或a=10时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.当a=0时,α
1
为向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
.当a=-10时,对A施以初等行变换,有 [*] 由于β
2
,β
3
,β
4
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
1
=β
2
-β
3
-β
4
,故α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=一α
2
一α
3
一α
4
. [*] 当a=0时,r(A)=1,因而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,此时α
2
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
2
=3α
1
,α
4
=4α
1
.当a≠0时,再对B施以初等行变换,得 [*] 如果a≠一10,r(C)=4,从而r(A)=4,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 如果a=一10,r(C)=3,从而r(A)=3,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=一α
2
一α
3
一α
4
.
解析
本题考查向量组的线性相关性、极大线性无关组和线性表示.要求考生掌握向量组线性相关与线性无关的概念、向量线性表示的概念、向量组极大线性无关组的概念、向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关
α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|=0,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关
r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)<4.
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考研数学二
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