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  3. (03年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正

(03年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正

admin2021-01-25  37
问题 (03年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
    (1)求a，b的值；
    (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案(1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则由题设，有 [*] 由此解得a＝1，b＝2． (2)由A的特征多项式 [*] 得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝－3． 对于λ1＝λ2＝2，解齐次线性方程组(2E－A)χ＝0，由 [*] 得基础解系 ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(2，0，1)T． 对于λ3＝－3，解齐次线性方程组(－3E—A)χ＝0，由 [*] 得基础解系 ξ＝(1，0，－2)T． ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，将它们单位化，得 e1＝(0，1，0)T，[*] 令矩阵 P＝[e1 e2 e3]＝[*] 则P为正交矩阵，且有 P-1AP＝PTAP＝[*] 二次型f在正交变换χ＝py下的标准形为 f＝2y12＋2y22－3y32
解析
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考研数学三

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