一阶线性差分方程2yt+1+8yt=5tet的通解为yt=_______．

admin2019-05-19 83

问题一阶线性差分方程2y_t+1+8y_t=5te^t的通解为y_t=_______．

选项

答案[*]，C为任意常数

解析先解一阶线性齐次差分方程2y_t+1+8y_t=0．对应的特征方程为
2r+8=0，特征根r=-4，
所以对应的齐次方程的通解为Y_t=C(-4)^t，C为任意常数．
再设该非齐次线性差分方程的一个特解为
y_t*=(At+B)e^t，
于是 y_t+1*=[A(t+1)+B]e^t+1=[Aet+e(A+B)]e^t，
代入原给的一阶线性非齐次差分方程，得
2[Aet+e(A+B)]e^t+8(At+B)e^t=5te^t，
比较两边同类项，得
2Ae+8A=5，2e(A+B)+8B=0．
所以

通解y_t=Y_t+y_t*即为所填．

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