设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值． (Ⅰ)求参数θ的矩估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量和相合估计量； (Ⅱ)求参数θ的最大似然估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量．

admin2019-01-24 32

问题设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值．
(Ⅰ)求参数θ的矩估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量和相合估计量；
(Ⅱ)求参数θ的最大似然估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量．

选项

答案(Ⅰ)由于总体X～U[θ，2θ]，故由矩估计方程[*]，解得参数θ的矩估计量为[*]．因为[*]是参数θ的无偏估计量．又因为[*]是参数θ的相合估计量． (Ⅱ)设x₁，x₂，…，x_n为随机样本对应的观测值，则似然函数为[*]，似然函数非零区域为θ≤x_i≤2θ(i＝1，2，…，n)．令x₍₁₎＝min{x₁，x₂，…，x_n}，x_(n)＝max{x₁，x₂，…，x_n)，则θ≤x₍₁₎≤x_(n)≤2θ，即[*]，又由[*]关于θ是单调减少的，则当[*]时，L(θ)达到最大，所以参数θ的最大似然估计量为[*]，其中X_(n)＝max{X₁，X₂，…，X_n)．由于X_(n)的概率密度为 [*] 所以[*]不是参数θ的无偏估计量．

解析

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考研数学一

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