2. 考研
  3. 设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值． (Ⅰ)求参数θ的矩估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量和相合估计量； (Ⅱ)求参数θ的最大似然估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量．

设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值． (Ⅰ)求参数θ的矩估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量和相合估计量； (Ⅱ)求参数θ的最大似然估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量．

admin2019-01-24  43
问题 设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值．
(Ⅰ)求参数θ的矩估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量和相合估计量；
(Ⅱ)求参数θ的最大似然估计量，并判断它是否是θ的无偏估计量．
选项
答案(Ⅰ)由于总体X～U[θ，2θ]，故由矩估计方程[*]，解得参数θ的矩估计量为[*]． 因为[*]是参数θ的无偏估计量． 又因为[*]是参数θ的相合估计量． (Ⅱ)设x1，x2，…，xn为随机样本对应的观测值，则似然函数为[*]，似然函数非零区域为θ≤xi≤2θ(i＝1，2，…，n)．令x(1)＝min{x1，x2，…，xn}，x(n)＝max{x1，x2，…，xn)，则θ≤x(1)≤x(n)≤2θ，即[*]，又由[*]关于θ是单调减少的，则当[*]时，L(θ)达到最大，所以参数θ的最大似然估计量为[*]，其中X(n)＝max{X1，X2，…，Xn)．由于X(n)的概率密度为 [*] 所以[*]不是参数θ的无偏估计量．
解析
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考研数学一

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