2. 考研
  3. 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，y(x)满足y"+y+x=0．求y(x)的表达式．

设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，y(x)满足y"+y+x=0．求y(x)的表达式．

admin2018-09-20  62
问题 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，y(x)满足y"+y+x=0．求y(x)的表达式．
选项
答案当一π＜x＜0时，设(x，y)为曲线上任一点，由导数的几何意义，法线斜率为 [*] 由题意，法线斜率为[*]，所以有 [*] 分离变量，解得x2+y2=C，由初始条件[*]，得C=π2，所以 [*] 当0≤x＜π时，y"+y+x=0的通解为 y=C1cos x+C2sin x-x， ② y’=一C1sin x+C2cos x一1． ③ 因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知 [*] 代入②，③式，得C1=π，C2=1，故 y=πcosx+sinx一x，0≤x＜π． 综上，知 [*]
解析
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考研数学三

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