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设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续).当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,y(x)满足y"+y+x=0.求y(x)的表达式.
设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续).当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,y(x)满足y"+y+x=0.求y(x)的表达式.
admin
2018-09-20
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问题
设y=y(x)是区间(一π,π)内过点
的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续).当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,y(x)满足y"+y+x=0.求y(x)的表达式.
选项
答案
当一π<x<0时,设(x,y)为曲线上任一点,由导数的几何意义,法线斜率为 [*] 由题意,法线斜率为[*],所以有 [*] 分离变量,解得x
2
+y
2
=C,由初始条件[*],得C=π
2
,所以 [*] 当0≤x<π时,y"+y+x=0的通解为 y=C
1
cos x+C
2
sin x-x, ② y’=一C
1
sin x+C
2
cos x一1. ③ 因为曲线y=y(x)光滑,所以y(x)连续且其导函数也连续,由①式知 [*] 代入②,③式,得C
1
=π,C
2
=1,故 y=πcosx+sinx一x,0≤x<π. 综上,知 [*]
解析
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考研数学三
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