设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续).当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,y(x)满足y"+y+x=0.求y(x)的表达式.

admin2018-09-20  50

问题 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续).当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,y(x)满足y"+y+x=0.求y(x)的表达式.

选项

答案当一π<x<0时,设(x,y)为曲线上任一点,由导数的几何意义,法线斜率为 [*] 由题意,法线斜率为[*],所以有 [*] 分离变量,解得x2+y2=C,由初始条件[*],得C=π2,所以 [*] 当0≤x<π时,y"+y+x=0的通解为 y=C1cos x+C2sin x-x, ② y’=一C1sin x+C2cos x一1. ③ 因为曲线y=y(x)光滑,所以y(x)连续且其导函数也连续,由①式知 [*] 代入②,③式,得C1=π,C2=1,故 y=πcosx+sinx一x,0≤x<π. 综上,知 [*]

解析
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