2. 考研
  3. 求下列幂级数的收敛域或收敛区间： (Ⅰ)xn－1； (Ⅱ)x2n； (Ⅲ)anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

求下列幂级数的收敛域或收敛区间： (Ⅰ)xn－1； (Ⅱ)x2n； (Ⅲ)anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

admin2016-10-26  115
问题 求下列幂级数的收敛域或收敛区间：
(Ⅰ)xn－1；
(Ⅱ)x2n；
(Ⅲ)anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)
(Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．
选项
答案(Ⅰ)[*]xn有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(11．3)式计算收敛半径．首先计算 [*] (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n－1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式，求收敛半径R．一般有两种方法： 方法1°它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于 [*] 因此R=[*] 方法2°作变量替换t=x2，原级数变成[*]tn，对此级数用求收敛半径R的公式： [*] 因此，此级数发散．所以原级数的收敛域为[*] (Ⅲ)[*]，由幂级数收敛性的特点知，[*]nan(x－1)n+1与[*]an(x－1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(－2，4)． (Ⅳ)考察[*]antn，由题设t=－3时它收敛[*]收敛半径R≥3，又t=3时其发散[*]R≤3．因此R=3，[*]antn的收敛域是[－3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．
解析
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考研数学一

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