2. 考研
  3. (Ⅰ)证明：方程x=1+2ln x在(e，+∞)内有唯一实根ξ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上，取x0∈(e，ξ)，令xn=1+2ln xn-1(n=1，2，…)，证明：xn=ξ．

(Ⅰ)证明：方程x=1+2ln x在(e，+∞)内有唯一实根ξ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上，取x0∈(e，ξ)，令xn=1+2ln xn-1(n=1，2，…)，证明：xn=ξ．

admin2022-04-27  40
问题 (Ⅰ)证明：方程x=1+2ln x在(e，+∞)内有唯一实根ξ；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上，取x0∈(e，ξ)，令xn=1+2ln xn-1(n=1，2，…)，证明：xn=ξ．
选项
答案(Ⅰ)令f(x)=x-1-2ln x，则f(e)=e-3＜0，且 [*] 故由零点定理，可知f(x)=0在(e，+∞)内至少有已个实根． 又由于 [*] 故f(x)=0在(e，+∞)内有唯一实根，记为ξ． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当c∈(e，ξ)时，f(x)＜0，即 1+2ln x＞x， 故当e＜x0＜ξ时， x1=1+2ln x0＞x0， x1=1+2ln x0＜1+2ln ξ=ξ． 假设xn＞xn-1，且xn＜ξ，则有 xn=1=1+2ln xn＞xn， xn+1=1+2ln xn＜1+2ln ξ=ξ， 故由数学归纳法，可知{xn}单调增加有上界，故[*]xn存在，记[*]xn=A 对xn=1+2ln xn-1左右两端同时取极限，有A=1+2ln A．即A为方程x=1+2ln x的实根． 由(Ⅰ)，可知[*]xn=A=ξ．
解析
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考研数学三

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