将一长度为a的细杆分为三段，试问如何分才能使三段长度之积为最大?

admin2020-05-02 18

问题将一长度为a的细杆分为三段，试问如何分才能使三段长度之积为最大?

选项

答案令第一段长度为x，第二段长度为y，则第三段长度为a－x－y，三段长度之积为 z=f(x，y)=xy(a－x－y)=axy－x₂y－xy₂ 令 [*] 解得四个驻点分别为(0，0)，(0，a)，(a，0)，[*]又 f_xx(x，y)=－2y， f_xy(x，y)=a－2x－2y，f_yy(x，y)=－2x 在点(0，0)处，A=f_xx(0，0)=0，B=f_xy(0，0)=a，C=f_yy(0，0)=0，AC=B₂=－a₂＜0，所以函数在(0，0)点处不取得极值；在(0，a)处，A=f_xx(0，a)=－2a，B=f_xy(0，a)=－a，C=f_yy(0，a)=0，AC—B₂=－a₂＜0，所以函数在(0，a)点处不取得极值；在(a，0)处，A=f_xx(a，0)=0，B=f_xy(a，0)=－a，C=f_yy(a，0)=－2a，AC—B₂=－a₂＜0，所以函数在(a，0)点处不取得极值；在点[*]处，[*]故函数在点[*]处取得极大值，极大值为[*] 综上可知，将细杆三等分时，三段长度之积为最大．

解析

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考研数学一

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