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设A是n阶矩阵,满足(A-aE)(A-bE)=0,其中数a≠b.证明: r(A-aE)+r(A-bE)=n.
设A是n阶矩阵,满足(A-aE)(A-bE)=0,其中数a≠b.证明: r(A-aE)+r(A-bE)=n.
admin
2019-02-23
62
问题
设A是n阶矩阵,满足(A-aE)(A-bE)=0,其中数a≠b.证明:
r(A-aE)+r(A-bE)=n.
选项
答案
一方面,根据矩阵秩的性质⑦,由(A-aE)(A-bE)=0得到r(A-aE)+r(A-bE)≤n.另一方面,用矩阵的秩的性质③,有r(A-aE)+r(A-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n. 两个不等式结合,推出r(A-aE)+r(A-bE)=n.
解析
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