设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．

admin2021-02-25 31

问题设实对称矩阵

，求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=a+1，λ₃=a-2．对于特征值λ₁=λ₂=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量 α₁=(1，1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T．对于特征值λ₃=a-2，可得对应的特征向量 α₃=(-1，1，1)^T．令矩阵 [*] 则 [*] [*]

解析本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质．由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．由可知只要求出对角矩阵P^-1AP，就可以计算出｜A-E｜．

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考研数学二

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