2. 考研
  3. (Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，证明：对任意非负实数s及t，有 P{X≥s+t｜X≥s}=P{X≥t}。 (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0．1的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。

(Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，证明：对任意非负实数s及t，有 P{X≥s+t｜X≥s}=P{X≥t}。 (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0．1的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。

admin2018-12-29  42
问题 (Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，证明：对任意非负实数s及t，有
P{X≥s+t｜X≥s}=P{X≥t}。
(Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0．1的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。
选项
答案(Ⅰ)已知随机变量X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数F(x)=1—e—λx，根据结论 [*] 对任意非负实数s及t，有 P{X≥s+t｜X≥s}=[*]=e—λt。 因为X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数x，有 P{X＜x}=P{X≤x}=F(x)。 P{X≥t}=1—P{X＜t}=1—P{X≤t}=1—F(t)=1—(1—e—λt)=e—λt，因此可得P{X≥s+t｜X≥s}=P{X≥t}成立。 (Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X～e(0．1)，则其概率分布函数为 [*] 根据(Ⅰ)的结论， P(X≥s+t｜X≥s)=P(X≥t)=e—λt， 假设某人买回来的电视机已经用了x年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(X≥x+5｜X≥5)=P(X≥5)=e—0．1×5=e—0．5≈0．6065。
解析
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考研数学一

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