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(Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,证明:对任意非负实数s及t,有 P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}。 (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0.1的指数分布,某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率。
(Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,证明:对任意非负实数s及t,有 P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}。 (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0.1的指数分布,某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率。
admin
2018-12-29
46
问题
(Ⅰ)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,证明:对任意非负实数s及t,有
P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}。
(Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0.1的指数分布,某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率。
选项
答案
(Ⅰ)已知随机变量X服从指数分布,对于任意的非负实数,根据指数分布的分布函数F(x)=1—e
—λx
,根据结论 [*] 对任意非负实数s及t,有 P{X≥s+t|X≥s}=[*]=e
—λt
。 因为X是连续的随机变量,根据分布函数的定义,对任意实数x,有 P{X<x}=P{X≤x}=F(x)。 P{X≥t}=1—P{X<t}=1—P{X≤t}=1—F(t)=1—(1—e
—λt
)=e
—λt
,因此可得P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}成立。 (Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X~e(0.1),则其概率分布函数为 [*] 根据(Ⅰ)的结论, P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)=e
—λt
, 假设某人买回来的电视机已经用了x年,则它还可以使用五年以上的概率为 P(X≥x+5|X≥5)=P(X≥5)=e
—0.1×5
=e
—0.5
≈0.6065。
解析
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考研数学一
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