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  3. 设f(x)在[－a，a](a>0)上有四阶连续的导数，且存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得

设f(x)在[－a，a](a>0)上有四阶连续的导数，且存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得

admin2019-11-25  21
问题 设f(x)在[－a，a](a>0)上有四阶连续的导数，且存在．
证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得
选项
答案(1)中麦克劳林公式两边积分得[*]f(x)dx＝[*](ξ)x4dx． 因为f(4)(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[－a，a]上积分得[*]a5≤[*]f(4)(ξ)x4dx≤[*]a5，从而[*]f(4)(ξ)x4dx≤[*]，或[*]f(x)dx≤[*]， 于是m≤[*]f(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得f(4)(ξ1)＝[*]f(x)dx，或a5f(4)(ξ1)＝60[*]f(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)＝60[*]f(x)dx＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)．
解析
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考研数学三

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