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设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且存在. 证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且存在. 证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得
admin
2019-11-25
37
问题
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且
存在.
证明:存在ξ
1
,ξ
2
∈[-a,a],使得
选项
答案
(1)中麦克劳林公式两边积分得[*]f(x)dx=[*](ξ)x
4
dx. 因为f
(4)
(x)在[-a,a]上为连续函数,所以f
(4)
(x)在[-a,a]上取到最大值M和最小值m,于是有mx
4
≤f
(4)
(ξ)x
4
≤Mx
4
,两边在[-a,a]上积分得[*]a
5
≤[*]f
(4)
(ξ)x
4
dx≤[*]a
5
,从而[*]f
(4)
(ξ)x
4
dx≤[*],或[*]f(x)dx≤[*], 于是m≤[*]f(x)dx≤M,根据介值定理,存在ξ
1
∈[-a,a],使得f
(4)
(ξ
1
)=[*]f(x)dx,或a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60[*]f(x)dx.再由积分中值定理,存在ξ
2
∈[-a,a],使得a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60[*]f(x)dx=120af(ξ
2
),即a
4
f
(4)
(ξ
1
)=120f(ξ
2
).
解析
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0
考研数学三
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