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[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若Δx>0,则( ).
[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若Δx>0,则( ).
admin
2019-04-05
76
问题
[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x
0
处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x
0
处对应的增量与微分,若Δx>0,则( ).
选项
A、0<dy<Δy
B、0<Δy<dy
C、Δy<dy<0
D、dy<Δy<0
答案
A
解析
题设条件有明显的几何意义可用图示法求解.
解一 仅(A)入选.由f′(x)>0,f″(x)>0知,函数f(x)单调增加,曲线y=f(x)是凹向.作函数y=f(x)的图形,如图1.2.5.6所示.
由图中易看出,当Δx>0时,有Δy>dy=f′(x
0
)dx=f′(x
0
)Δx>0.
解二 因Δy=f(x
0
+Δx)一f(x
0
)为函数差的形式,这警示我们可用拉格朗日中值定理Δy=f(x
0
+Δx)一f(x
0
)=f′(ξ)Δx,x
0
<ξ<x
0
+Δx求之.因f″(x)>0,故f′(x)单调增加,有f′(ξ)>f′(x
0
).又Δx>0,则
Δy=f′(ξ)Δx>f′(x
0
)Δx=dy>0, 即0<dy<Δy.
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考研数学二
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