2. 考研
  3. [2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则( )．

[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则( )．

admin2019-04-05  75
问题 [2006年]  设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则(    )．
选项 A、0＜dy＜Δy
B、0＜Δy＜dy
C、Δy＜dy＜0  
D、dy＜Δy＜0
答案A
解析  题设条件有明显的几何意义可用图示法求解．
    解一  仅(A)入选．由f′(x)＞0，f″(x)＞0知，函数f(x)单调增加，曲线y=f(x)是凹向．作函数y=f(x)的图形，如图1．2．5．6所示．

    由图中易看出，当Δx＞0时，有Δy＞dy=f′(x0)dx=f′(x0)Δx＞0．
    解二  因Δy=f(x0+Δx)一f(x0)为函数差的形式，这警示我们可用拉格朗日中值定理Δy=f(x0+Δx)一f(x0)=f′(ξ)Δx，x0＜ξ＜x0+Δx求之．因f″(x)＞0，故f′(x)单调增加，有f′(ξ)＞f′(x0)．又Δx＞0，则
Δy=f′(ξ)Δx＞f′(x0)Δx=dy＞0，  即0＜dy＜Δy．
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考研数学二

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