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  3. 求过点P(2，1，3)且与直线L：垂直相交的直线方程．

求过点P(2，1，3)且与直线L：垂直相交的直线方程．

admin2020-04-02  6
问题 求过点P(2，1，3)且与直线L：垂直相交的直线方程．
选项
答案方法一 设所求直线的对称式方程为 [*] 则其参数方程为 x=lt1+2，y=mt1+1，z=nt1+3 而所给直线的参数方程为 x=3t2－1，y=2t2+1，z=－t2 一方面，两条直线互相垂直，故其方向向量的数量积为0，即3l+2m－n=0． 另一方面，两条直线相交，在交点处对应的坐标相等，故有[*] 解得 [*] 于是，所求直线的方程为 [*] 方法二 过点P(2，1，3)作垂直于已知直线L的平面，则该平面的法向量就是L的方向向量，故此平面的方程为 3(x－2)+2(y－1)－(z－3)=0 再求该平面与L的交点，将L的参数方程 x=－1+3t，y=1+2t，z=－t 代入上述平面方程，得[*]从而得交点为以点P(2，1，3)为起点，点[*]为终点的向量[*]是所求直线的方向向量，故所求直线的对称式方程为 [*] 即 [*] 方法三 设所求直线的方向向量为s=(l，m，n)，以点P(2，1，3)为起点，直线L上的点Q(一1，1，0)为终点的向量为[*]由于三个向量[*]共面，故 [*] 又由于所求直线与L互相垂直，故其方向向量的数量积为0，即 3l+2m－n=0 于是可求得[*]因此，所求直线的方程为[*]
解析
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考研数学一

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