[2011年] 若二次曲面方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=______．

admin2019-04-08 66

问题 [2011年] 若二次曲面方程x²+3y²+z²+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y₁²+4z₁²=4，则a=______．

选项

答案1

解析所给方程的左端为一个二次型的表示式，其矩阵为

而二次型经正交变换化为y₁²+4z₁²，这说明二次型矩阵A的三个特征值为λ₁=1，λ₂=4，λ₃=0．
于是｜A｜=λ₁λ₂λ₃=0=

由观察知，当a=1时，｜A｜的第1，3两行相等，有｜A｜=0，即a=1为所求．
事实上，易求得｜A｜=

=一(a一1)．由｜A｜=0求得a=1．[img][/img]

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考研数学一

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