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设a1=(a1,a2,a3,a4),a2=(a2,-a1,a4,-a3),a3=(a3,-a4,-a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零. (Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关; (Ⅱ)记,证明AAT是正定矩阵.
设a1=(a1,a2,a3,a4),a2=(a2,-a1,a4,-a3),a3=(a3,-a4,-a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零. (Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关; (Ⅱ)记,证明AAT是正定矩阵.
admin
2019-06-04
70
问题
设a
1
=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
),a2=(a
2
,-a
1
,a
4
,-a
3
),a
3
=(a
3
,-a
4
,-a
1
,a
2
),其中a
i
(i=1,2,3,4)不全为零.
(Ⅰ)证明a
1
,a
2
,a
3
线性无关;
(Ⅱ)记
,证明AA
T
是正定矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)用反证法.假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则由定义,存在不全为零的实数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0. (*) 因[*] 又α
j
α
j
T
=[*]≠0,j=1,2,3.故将式(*)两端左乘α
j
T
,j=1,2,3,得 k
j
α
j
α
j
T
=0,α
j
α
j
T
≠0[*]k
j
=0,j=1,2,3, 这和假设矛盾,得证α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则r(A)=3,且AA
T
是实对称矩阵.则齐次方程组A
T
x=(α
1
T
,α
2
,α
3
T
)x=0仅有唯一零解,则对任给的x≠O,A
T
x=(α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
)x≠0,将其两端右乘(A
T
x)
T
,得 (A
T
x)
T
(A
T
x)=x
T
AA
T
x>0, 由矩阵正定的定义,证得AA
T
是正定矩阵.
解析
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考研数学一
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