设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒

admin2018-09-25 106

问题设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁－S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y－y=y’.(X－x)．它与x轴的交点为[*]由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是 [*] 又S₂=∫₀^xy(t)dt，由条件2S₁－S₂=1知 [*] 两边对x求导并化简得yy’’=(y’)²．令p=y’，则上述方程可化为 [*] 从而 [*] 于是y=e^C₁x+C₂．注意到y(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线的方程是y=e^x．

解析

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考研数学一

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设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒

考研数学一

判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：

设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

若A=(4，5，6)，则｜A｜=__________．

已知随机变量X的概率密度(Ⅰ)求分布函数F(x)；(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．

设连续型随机变量X的分布函数为其中a＞0，Ф(x)，φ(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令Y=X2，求Y的密度函数．

求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．

已知总体X的概率密度只有两种可能，设对X进行一次观测，得样本X1，规定当X1≥时拒绝H0，否则就接受H0，则此检验犯第一、二类错误的概率α和β分别为__________．

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y－1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

(03年)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+Zby+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

第二次世界大战结束以来，生产和资本进一步国际化的突出特点是()

在精馏塔操作中，若出现塔釜温度及压力不稳时，产生的原因可能是()。

阿托品对下列哪种疾病疗效最好

某吊装构件施工过程包括12组构件，该施工过程综合时间定额为6台班/组，计划每天安排2班，每班2台吊装机械完成该施工过程，则其持续时间为(　　)天。

在非相关领域开展多元化经营所采用的组织结构形式是()。

使计划数字化的工作被称为()。

为什么报考外交部?报考外交部有什么打算?

有以下程序　　　　int　a=4；　　　　int　f(int　n)　　　　{　int　t=0；static　int　a=5；　　　　　　if(n%2)　　{int　a=6；t+=a++；}　　　　　　　else　{int　a=7；t+=a++；}

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若A=(4，5，6)，则｜A｜=__________．

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设连续型随机变量X的分布函数为其中a＞0，Ф(x)，φ(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令Y=X2，求Y的密度函数．

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已知总体X的概率密度只有两种可能，设对X进行一次观测，得样本X1，规定当X1≥时拒绝H0，否则就接受H0，则此检验犯第一、二类错误的概率α和β分别为__________．

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y－1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

(03年)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+Zby+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

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有以下程序 int a=4； int f(int n) { int t=0；static int a=5； if(n%2) {int a=6；t+=a++；} else {int a=7；t+=a++；}

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