2. 考研
  3. 设常数(a＞0，函数g(x)在区间[－a，a]上存在二阶导数，且g’’(x)＞0． 证明2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aag(x)dx∫－aae－x2dx．

设常数(a＞0，函数g(x)在区间[－a，a]上存在二阶导数，且g’’(x)＞0． 证明2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aag(x)dx∫－aae－x2dx．

admin2018-09-25  100
问题 设常数(a＞0，函数g(x)在区间[－a，a]上存在二阶导数，且g’’(x)＞0．
证明2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aag(x)dx∫－aae－x2dx．
选项
答案因为当0≤x≤a时h’(x)≥0，h(x)单调增加；f(x)=e－x2在0≤x≤a时单调减少，所以不论0≤x≤y≤a还是0≤y≤x≤a，均有 [h(x)－h(x)](e－x2－e－y2)≤0， 即只要(x，y)∈D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤a}，有 h(x)e－x2+h(y)e－y2≤h(x)e－y2+h(y)e－x2． 于是有 [*] 2∫0ady∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx， 2a∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx． 又因为h(x)与e－x2都是偶函数，所以 a∫－aah(x)e－x2dx≤[*]∫－aae－y2dy∫－aah(x)dx， (*) 再以h(x)=g(x)+g(－x)代入，并注意到 ∫－aah(x)dx=∫－aa[g(x)+g(－x)]dx =∫－aag(x)dx+∫－aag(－x)dx =∫－aag(x)dx+∫－aag(u)(－du) =2∫－aag(x)dx， 同理，∫－aah(x)e－x2dx=2∫－aag(x)e－x2dx． 从而式(*)成为2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aae－x2dx∫－aag(x)dx．证毕．
解析
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考研数学一

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