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设常数(a>0,函数g(x)在区间[-a,a]上存在二阶导数,且g’’(x)>0. 证明2a∫-aag(x)e-x2dx≤∫-aag(x)dx∫-aae-x2dx.
设常数(a>0,函数g(x)在区间[-a,a]上存在二阶导数,且g’’(x)>0. 证明2a∫-aag(x)e-x2dx≤∫-aag(x)dx∫-aae-x2dx.
admin
2018-09-25
93
问题
设常数(a>0,函数g(x)在区间[-a,a]上存在二阶导数,且g’’(x)>0.
证明2a∫
-a
a
g(x)e
-x
2
dx≤∫
-a
a
g(x)dx∫
-a
a
e
-x
2
dx.
选项
答案
因为当0≤x≤a时h’(x)≥0,h(x)单调增加;f(x)=e
-x
2
在0≤x≤a时单调减少,所以不论0≤x≤y≤a还是0≤y≤x≤a,均有 [h(x)-h(x)](e
-x
2
-e
-y
2
)≤0, 即只要(x,y)∈D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a},有 h(x)e
-x
2
+h(y)e
-y
2
≤h(x)e
-y
2
+h(y)e
-x
2
. 于是有 [*] 2∫
0
a
dy∫
0
a
h(x)e
-x
2
dx≤2∫
0
a
e
-y
2
dy∫
0
a
h(x)dx, 2a∫
0
a
h(x)e
-x
2
dx≤2∫
0
a
e
-y
2
dy∫
0
a
h(x)dx. 又因为h(x)与e
-x
2
都是偶函数,所以 a∫
-a
a
h(x)e
-x
2
dx≤[*]∫
-a
a
e
-y
2
dy∫
-a
a
h(x)dx, (*) 再以h(x)=g(x)+g(-x)代入,并注意到 ∫
-a
a
h(x)dx=∫
-a
a
[g(x)+g(-x)]dx =∫
-a
a
g(x)dx+∫
-a
a
g(-x)dx =∫
-a
a
g(x)dx+∫
-a
a
g(u)(-du) =2∫
-a
a
g(x)dx, 同理,∫
-a
a
h(x)e
-x
2
dx=2∫
-a
a
g(x)e
-x
2
dx. 从而式(*)成为2a∫
-a
a
g(x)e
-x
2
dx≤∫
-a
a
e
-x
2
dx∫
-a
a
g(x)dx.证毕.
解析
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考研数学一
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