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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3经可逆性变换得g(y1,y2,y3)=y12+y22+4y32+2y1y2. 求可逆矩阵P.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3经可逆性变换得g(y1,y2,y3)=y12+y22+4y32+2y1y2. 求可逆矩阵P.
admin
2022-09-22
81
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
1
x
3
+2ax
2
x
3
经可逆性变换
得g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
+2y
1
y
2
.
求可逆矩阵P.
选项
答案
当a=-1/2时,利用配方法把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为规范形. f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
,x
2
2
,x
3
2
-x
1
x
2
-x
1
3
-x
2
3
[*] 则f(x
1
,x
2
,x
3
)=z
1
2
+z
2
2
, 利用配方法把f(y
,y
2
,y
3
)化为规范形. f(y
,y
2
,y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+2y
1
y
2
+4y
3
2
=(y
1
+y
2
)
2
+4y
3
2
. 令[*]即令P
2
=[*],Z=P
2
Y. 则,f(y
,y
2
,y
3
)=z
1
2
+z
2
2
, 故P
1
X=P
2
Y,即X=P
1
-1
P
2
Y. 所以P=P
1
-1
P
2
. 由于P
1
-1
=[*],P
2
=[*] 故P=P
1
-1
P
2
=[*].
解析
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考研数学二
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