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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3经可逆性变换得g(y1，y2，y3)=y12+y22+4y32+2y1y2． 求可逆矩阵P．
设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3经可逆性变换得g(y1，y2，y3)=y12+y22+4y32+2y1y2． 求可逆矩阵P．
admin
2022-09-22
36
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
1
x
3
+2ax
2
x
3
经可逆性变换
得g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
+2y
1
y
2
．
求可逆矩阵P．
选项
答案
当a=-1／2时，利用配方法把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为规范形． f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
，x
2
2
，x
3
2
-x
1
x
2
-x
1
3
-x
2
3
[*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=z
1
2
+z
2
2
， 利用配方法把f(y
，y
2
，y
3
)化为规范形． f(y
，y
2
，y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+2y
1
y
2
+4y
3
2
=(y
1
+y
2
)
2
+4y
3
2
． 令[*]即令P
2
=[*]，Z=P
2
Y． 则，f(y
，y
2
，y
3
)=z
1
2
+z
2
2
， 故P
1
X=P
2
Y，即X=P
1
-1
P
2
Y． 所以P=P
1
-1
P
2
． 由于P
1
-1
=[*]，P
2
=[*] 故P=P
1
-1
P
2
=[*]．
解析
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考研数学二
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