利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2015-08-17 83

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，y=f(t)→y’=f’(t).e^x=tf’(t)，y’’=(tf’(t))_x’=e^xf’(t)+tf’’(t).e^x=tf’(t)+t²f’’(t)，代入方程得t²f’’(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即f’’(t)一2f(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为y=(C₁+C₂e^x)e^x+ex+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学一

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证明：
设向量组α1=(1，3，2，0)T，α2=(7，0，14，3)T，α3=(2，一1，0，1)T，α4=(5，1，6，2)T，α5=(2，一1，4，1)T，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把不是极大线性无关组的向量用此极大线性无关组线性表示．
已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．
设u＝u(χ，y)，v＝v(χ，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)＝0，其中F有连续的偏导数且
设A，B都是可逆矩阵，证明可逆，并求它的逆矩阵。
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设α1，…，αm，β为m+1维向量，β=α1+…+αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β-α1，…，β-αm线性无关．
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