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利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解.
利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解.
admin
2015-08-17
78
问题
利用变换y=f(e
x
)求微分方程y’’一(2e
x
+1)y’+e
2x
y=e
3x
的通解.
选项
答案
令t=e
x
,y=f(t)→y’=f’(t).e
x
=tf’(t),y’’=(tf’(t))
x
’=e
x
f’(t)+tf’’(t).e
x
=tf’(t)+t
2
f’’(t),代入方程得t
2
f’’(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t
2
f(t)=t
3
,即f’’(t)一2f(t)+f(t)=t.解得f(t)=(C
1
+C
2
t)e
t
+t+2,所以y’’一(2e
x
+1)y’+e
2x
y=e
3x
的通解为y=(C
1
+C
2
e
x
)e
x
+ex+2,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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0
考研数学一
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