利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2015-08-17 33

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，y=f(t)→y’=f’(t).e^x=tf’(t)，y’’=(tf’(t))_x’=e^xf’(t)+tf’’(t).e^x=tf’(t)+t²f’’(t)，代入方程得t²f’’(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即f’’(t)一2f(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为y=(C₁+C₂e^x)e^x+ex+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(x))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．
设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．
设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜π＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+z=0．求函数y(x)的表达式．
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设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
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