利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2015-08-17 82

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，y=f(t)→y’=f’(t).e^x=tf’(t)，y’’=(tf’(t))_x’=e^xf’(t)+tf’’(t).e^x=tf’(t)+t²f’’(t)，代入方程得t²f’’(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即f’’(t)一2f(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y’’一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为y=(C₁+C₂e^x)e^x+ex+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学一

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