2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使．

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使．

admin2021-11-09  51
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：
    (1)在(a，b)内，g(x)≠0；
    (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使．
选项
答案(1)设c∈(a，b)，g(C)=0． 由g(a)=g(C)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0， 其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0． 因已知g"(x)≠0，故g(C)≠0． (2)F(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0． 故[*]．
解析
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考研数学二

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