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  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

admin2018-09-20  102
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
选项
答案由方程组[*]得线段x=0(0≤y≤6)，点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．又 fxx"=8y一6xy一2y2，fxy"=8x一3x2-4xy，fyy"=一2x2． 在点(2，1)处，有 [*] 因为B2一AC=一32＜0，且A＜0，所以点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0． 在边界x+y=6上，y=6-x．代入f(x，y)中得z=2x3-12x2(0≤x≤6)． 由z’=6x2一24x=0得x=0或x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：z|x=0=(2x3一12x2)|x=0=0，z|x=4=(2x3一12x2)|x=4=一64，z|x=6=(2x3—12x2)|x=6=0．I 因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=一64． 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．
解析
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考研数学三

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