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证明:二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
证明:二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
admin
2020-11-13
36
问题
证明:二次型f=x
T
Ax在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
选项
答案
设λ
1
≥λ
2
≥…≥λ
n
为A的n个特征值,存在正交阵Q=(q
1
,q
2
,…,q
n
)使 Q
T
AQ=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A, 并且Q的第i个列向量q
i
是对应于特征值λ
i
的单位化特征向量.令正交变换x=Qy,则 ‖x‖
2
=x
T
x—y
T
Q
T
Qy=y
T
y=‖y‖
2
, ① 从而可得 [*] 另一方面,取y
0
=e
1
=(1,0,…,0)
T
,则‖y
0
‖=‖e
1
‖=1,再取x
0
=Qy
0
, 由①式知‖x
0
‖=1,且二次型厂在x
0
处的值为 f(x
0
)=x
0
T
Ax
0
=y
0
T
Q
T
AQy
0
=y
0
T
Ay
0
=λ
1
, ③ 综合②式与③式,即知[*]=λ
1
.
解析
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0
考研数学三
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