2. 考研
  3. 证明：二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

证明：二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

admin2020-11-13  53
问题 证明：二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．
选项
答案设λ1≥λ2≥…≥λn为A的n个特征值，存在正交阵Q=(q1，q2，…，qn)使 QTAQ=diag(λ1，λ2，…，λn)=A， 并且Q的第i个列向量qi是对应于特征值λi的单位化特征向量．令正交变换x=Qy，则 ‖x‖2=xTx—yTQTQy=yTy=‖y‖2， ① 从而可得 [*] 另一方面，取y0=e1=(1，0，…，0)T，则‖y0‖=‖e1‖=1，再取x0=Qy0， 由①式知‖x0‖=1，且二次型厂在x0处的值为 f(x0)=x0TAx0=y0TQTAQy0=y0TAy0=λ1， ③ 综合②式与③式，即知[*]=λ1．
解析
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考研数学三

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