设随机变量X,Y相互独立,已知X在[0,1]上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布.求 (Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数; (Ⅱ)Cov(Y,Z),并判断X与Z的独立性. 5.设二维随机变量(U,V)~N(2,2;4,1;1/2),记X=U-bY=V

admin2018-06-15  35

问题 设随机变量X,Y相互独立,已知X在[0,1]上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布.求
(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数;
(Ⅱ)Cov(Y,Z),并判断X与Z的独立性.
5.设二维随机变量(U,V)~N(2,2;4,1;1/2),记X=U-bY=V.

选项

答案(X,Y)的联合密度 f(x,y)=fX(x)fY(y) [*] (Ⅰ)应用独立和卷积公式 fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-2x)dx. 当z<0时,fZ(z)=0;当0≤z<2时,z-2x>0,x<z/2, fZ(z)=∫0z/2e-(z-2x)dx=1/2(1-e-z) 当z≥2时,z-2x≥0,x≤1, fZ(z)=∫01e-(z-2x)dx=e-z/2(e2-1). 于是Z的概率密度为 [*] (Ⅱ)由于X,Y相互独立,所以Cov(X,Y)=0. Cov(Y,Z)=Cov(Y,2X+Y)=2Cov(X,Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X,Z)=Cov(X,2X+Y)=2DX+Cov(X,Y)=1/6≠0,所以X与Z不独立.

解析
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