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  3. 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

admin2016-10-26  22
问题 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．
选项
答案由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，故α4可由α1，α2，α3线性表出．设α4=l1α1+l2α2+l3α3． 如果α4+α5能由α1，α2，α3线性表出，设α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，则 α5=(k1一l1)α1+(k2一l2)α2+(k3一l3)α3． 于是α5=可由α1，α2，α3线性表出，即α1，α2，α3，α5线性相关，与已知r(Ⅲ)=4相矛盾．所以α4+α5不能用α1，α2，α3线性表出，由秩的定义知r(α1，α2，α3，α4+α5)=4．
解析 由于r(Ⅰ)=3，得α1，α2，α3线性无关，那么向量组α1，α2，α3，α4+α5的秩至少是3，能否是4?关键就看α4+α5能否用α1，α2，α3线性表出，或者看向量组α1，α2，α3，α4+α5是线性相关还是线性无关．
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考研数学一

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