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(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．
(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．
admin
2014-04-23
103
问题
(I)设f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
一2x
1
x
2
+2x
1
x
3
—6x
2
x
3
，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；
(Ⅱ)设
求可逆阵D，使A=D
T
D．
选项
答案
(I)将f(x
1
，x
2
，x
3
)用配方法化为标准形，得f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
一2x
1
x
2
+2x
1
x
2
一6x
2
x
3
一(x
1
－x
2
+x
3
)
2
+x
2
2
+5x
3
2
一4x
2
x
3
=(x
1
一x
2
+x
3
)
2
+(x
2
—2x
3
)
2
+x
3
2
． 令[*]即[*] 得f的标准形为f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
所作的可逆线性变换为x=Cy， 其中[*]A的对应二次型的规范形为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
． 正惯性指数p=3=r=n，故知A是正定阵．(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵) (Ⅱ)由(I)知[*]是f(x
1
，x
2
，x
3
)的对应矩阵，即f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax．由(I)知，令x=Cy，其中[*]得f=x
T
Ax=y
T
C
T
ACy=y
T
Ey，故C
T
AC=E，A=(C
-1
)
T
C
-1
=D
T
D，其中D=C
-1
． 由[*] 故[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yN54777K
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考研数学一
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