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(I)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定阵; (Ⅱ)设求可逆阵D,使A=DTD.
(I)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定阵; (Ⅱ)设求可逆阵D,使A=DTD.
admin
2014-04-23
113
问题
(I)设f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
一2x
1
x
2
+2x
1
x
3
—6x
2
x
3
,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定阵;
(Ⅱ)设
求可逆阵D,使A=D
T
D.
选项
答案
(I)将f(x
1
,x
2
,x
3
)用配方法化为标准形,得f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
一2x
1
x
2
+2x
1
x
2
一6x
2
x
3
一(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+x
2
2
+5x
3
2
一4x
2
x
3
=(x
1
一x
2
+x
3
)
2
+(x
2
—2x
3
)
2
+x
3
2
. 令[*]即[*] 得f的标准形为f(x
1
,x
2
,x
3
)=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
所作的可逆线性变换为x=Cy, 其中[*]A的对应二次型的规范形为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
. 正惯性指数p=3=r=n,故知A是正定阵.(也可用定义证明,或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵) (Ⅱ)由(I)知[*]是f(x
1
,x
2
,x
3
)的对应矩阵,即f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax.由(I)知,令x=Cy,其中[*]得f=x
T
Ax=y
T
C
T
ACy=y
T
Ey,故C
T
AC=E,A=(C
-1
)
T
C
-1
=D
T
D,其中D=C
-1
. 由[*] 故[*]
解析
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考研数学一
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