2. 考研
  3. (I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

admin2014-04-23  57
问题 (I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；
(Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．
选项
答案(I)将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x2一6x2x3一(x1－x2+x3)2+x22+5x32一4x2x3=(x1一x2+x3)2+(x2—2x3)2+x32． 令[*]即[*] 得f的标准形为f(x1，x2，x3)=y12+y22+y32所作的可逆线性变换为x=Cy， 其中[*]A的对应二次型的规范形为y12+y22+y32． 正惯性指数p=3=r=n，故知A是正定阵．(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵) (Ⅱ)由(I)知[*]是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=xTAx．由(I)知，令x=Cy，其中[*]得f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故CTAC=E，A=(C-1)TC-1=DTD，其中D=C-1． 由[*] 故[*]
解析
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考研数学一

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