2. 考研
  3. 设y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2018-09-25  22
问题 设y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由泰勒公式 [*] 当x→0时，y(x)与x3同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C为非零常数． 由这些初值条件，现将方程y(4)－y’’=0两边积分得 ∫0xy(4)(t)dt－∫0xy’’(t)dt=0， 即y’’’(x)－C－y’(x)=0，两边再积分得y’’(x)－y(x)=Cx． 易知，上述方程有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx． 由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C，即 [*] 其中C为非零常数．
解析
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考研数学一

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