设y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2018-09-25 11

问题设y(x)是方程y⁽¹⁾－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

选项

答案由泰勒公式 [*] 当x→0时，y(x)与x³同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y⁽⁴⁾－y’’=0两边积分得 ∫₀^xy⁽⁴⁾(t)dt－∫₀^xy’’(t)dt=0，即y’’’(x)－C－y’(x)=0，两边再积分得y’’(x)－y(x)=Cx．易知，上述方程有特解y^*=－Cx，因此它的通解是y=C₁e^x+C₂e^－x－Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C₁+C₂=0，C₁－C₂=C，即 [*] 其中C为非零常数．

解析

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