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设y(x)是方程y(1)-y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
设y(x)是方程y(1)-y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
admin
2018-09-25
38
问题
设y(x)是方程y
(1)
-y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
选项
答案
由泰勒公式 [*] 当x→0时,y(x)与x
3
同阶,则y(0)=0,y’(0)=0,y’’(0)=0,y’’’(0)=C,其中C为非零常数. 由这些初值条件,现将方程y
(4)
-y’’=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt-∫
0
x
y’’(t)dt=0, 即y’’’(x)-C-y’(x)=0,两边再积分得y’’(x)-y(x)=Cx. 易知,上述方程有特解y
*
=-Cx,因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
-Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得C
1
+C
2
=0,C
1
-C
2
=C,即 [*] 其中C为非零常数.
解析
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考研数学一
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