设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d,已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0,y|x=0),(1,y|x=1)处与x轴相切。 求f(x)

admin2021-12-14  37

问题 设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d,已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0,y|x=0),(1,y|x=1)处与x轴相切。
求f(x)

选项

答案易知方程x-sinx=0有唯一实根x=0,依题设y|x=0=y|x=1=0,即[*]故f(0)=0,f(1)=0,y’=π/2(cosπx/2)f’(sinπx/2)-f’(x)cosf(x),由已知,y’|x=0=y’|x=1=0,即[*]可得f’(0)=f’(1)=0,故f’(0)=d=0,f’(1)=4+3b+2c+d=0,f(1)=f(0)+∫01f’(x)dx=∫01(4x3+3bx2+2cx+d)dx=(x4+bx3+cx2+dx)|01=1+b+c+d=0,解得b=-2,c=1,d=0,即f’(x)=4x36x2+2x,f(x)=f(0)+∫0xf’(x)dx=0+∫0x(4x36x2+2x)dx=x4-2x3+x2

解析
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