2. 考研
  3. 设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。 求f(x)

设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。 求f(x)

admin2021-12-14  49
问题 设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。
求f(x)
选项
答案易知方程x-sinx=0有唯一实根x=0，依题设y｜x=0=y｜x=1=0，即[*]故f(0)=0，f(1)=0，y’=π/2(cosπx/2)f’(sinπx/2)-f’(x)cosf(x)，由已知，y’｜x=0=y’｜x=1=0，即[*]可得f’(0)=f’(1)=0，故f’(0)=d=0，f’(1)=4+3b+2c+d=0，f(1)=f(0)+∫01f’(x)dx=∫01(4x3+3bx2+2cx+d)dx=(x4+bx3+cx2+dx)｜01=1+b+c+d=0，解得b=-2，c=1，d=0，即f’(x)=4x36x2+2x，f(x)=f(0)+∫0xf’(x)dx=0+∫0x(4x36x2+2x)dx=x4-2x3+x2。
解析
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考研数学二

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