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  3. 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝－f(ξ)cotξ．

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝－f(ξ)cotξ．

admin2020-03-10  63
问题 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝－f(ξ)cotξ．
选项
答案令φ(x)＝f(x)sinx，则φ(0)＝φ(x)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝f’(x)sinx＋f(x)cosx， 于是f’(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0，故f’(ξ)＝－f(ξ)cotξ．
解析
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考研数学三

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