设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

admin2020-03-01 47

问题设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

选项 A、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁。
B、α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃。
C、α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁。
D、α₁+α₂，2α₂+α₃，3α₃+α₁。

答案C

解析设存在常数k₁，k₂，k₃使得k₁(α₁一α₂)+k₂(α₂一α₃)+k₃(α₃一α₁)=0，即 (k₁一k₃)α₁+(k₂一k₁)α₂+(k₃一k₂)α₃=0。因为向量组α₁，α₂，α₃线性无关，所以

该齐次线性方程组系数矩阵的行列式

因此方程组有非零解，所以α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁线性相关。故选C。

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