2. 考研
  3. 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

admin2020-03-16  59
问题 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
选项
答案解微分方程xy’’一y’+2=0，得其通解y=C1+2x+C2x2，其中C1，C2为任意常数．又已知y=y(x)通过原点时与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，可得C1=0． [*] 因此C2=3．故所求非负函数为y=2x+3x2(x≥0)．又由y=2x+3x2可得，在第一象限曲线y=y(x)表示为[*] 直线x=1与曲线y(x)交点为(1，5)，过该点作x轴与y轴的垂线，构成的矩形绕y轴旋转所得圆柱体的体积为5π，于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π—V1，其中[*] [*]
解析
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考研数学二

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