设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0,当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.

admin2020-03-16  45

问题 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0,当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.

选项

答案解微分方程xy’’一y’+2=0,得其通解y=C1+2x+C2x2,其中C1,C2为任意常数.又已知y=y(x)通过原点时与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2,可得C1=0. [*] 因此C2=3.故所求非负函数为y=2x+3x2(x≥0).又由y=2x+3x2可得,在第一象限曲线y=y(x)表示为[*] 直线x=1与曲线y(x)交点为(1,5),过该点作x轴与y轴的垂线,构成的矩形绕y轴旋转所得圆柱体的体积为5π,于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π—V1,其中[*] [*]

解析
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