设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；

admin2021-01-14 42

问题设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβ^T；

选项

答案若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 于是A=[*](b₁,b₂,…,b_n) 令α=[*]，显然α，β都不是零向量且A=αβ^T；反之，若A=αβ^T，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβ^T)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．

解析

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