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设A是n阶矩阵,证明: r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT;
设A是n阶矩阵,证明: r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT;
admin
2021-01-14
42
问题
设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβ
T
;
选项
答案
若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例,即 [*] 于是A=[*](b
1
,b
2
,…,b
n
) 令α=[*],显然α,β都不是零向量且A=αβ
T
; 反之,若A=αβ
T
,其中α,β都是n维非零列向量,则r(A)=r(αβ
T
)≤r(α)=1,又因为α,β为非零列向量,所以A为非零矩阵,从而r(A)≥1,于是r(A)=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CD84777K
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考研数学二
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