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[2018年] 设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．

admin2019-06-09  82
问题 [2018年]  设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．
选项
答案证 设f(x)=ex一1一x，x＞0，则有 f＇(x)=ex一1＞0，f(x)＞f(0)=0，[*]＞1， 从而 ex2=[*]＞1，x2＞0． 猜想xn＞0，现用数学最纳法证明：n=1时，x1＞0，成立． 假设n=k(k=1，2…)时，有xk＞0，则有n=k+1时有 exk+1=[*]＞1，xk+1＞0． 因此xn＞0，有下界，再证单调性． xn+1—xn=[*] 设g(x)=ex一1一xex，x＞0时，g＇(x)=ex一ex一xex=一xex＜0，所以g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex－1＜xex，因此 xn+1一xn=ln[*]＜ln1=0， 即数列{xn}单调递减，故由单调有界准则可知极限[*]xn存在． 不妨设[*]xn=A，则A eA=eA—1． 因为g(x)=ex－1－xex只有唯一的零点x=0，所以A=0，则 [*]xn=0．
解析
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考研数学二

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