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[2018年] 设数列{xn}满足:x1>0,xnexn+1=exn一1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求xn.
[2018年] 设数列{xn}满足:x1>0,xnexn+1=exn一1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求xn.
admin
2019-06-09
80
问题
[2018年] 设数列{x
n
}满足:x
1
>0,x
n
e
x
n+1
=e
x
n
一1(n=1,2,…).证明{x
n
}收敛,并求
x
n
.
选项
答案
证 设f(x)=e
x
一1一x,x>0,则有 f'(x)=e
x
一1>0,f(x)>f(0)=0,[*]>1, 从而 e
x
2
=[*]>1,x
2
>0. 猜想x
n
>0,现用数学最纳法证明:n=1时,x
1
>0,成立. 假设n=k(k=1,2…)时,有x
k
>0,则有n=k+1时有 e
x
k+1
=[*]>1,x
k+1
>0. 因此x
n
>0,有下界,再证单调性. x
n+1
—x
n
=[*] 设g(x)=e
x
一1一xe
x
,x>0时,g'(x)=e
x
一e
x
一xe
x
=一xe
x
<0,所以g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,即有e
x
-1<xe
x
,因此 x
n+1
一x
n
=ln[*]<ln1=0, 即数列{x
n
}单调递减,故由单调有界准则可知极限[*]x
n
存在. 不妨设[*]x
n
=A,则A e
A
=e
A
—1. 因为g(x)=e
x
-1-xe
x
只有唯一的零点x=0,所以A=0,则 [*]x
n
=0.
解析
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考研数学二
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