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求解下列方程: (I)求方程xy”=y’lny’的通解; (Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1,y’(0)=2的特解.
求解下列方程: (I)求方程xy”=y’lny’的通解; (Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1,y’(0)=2的特解.
admin
2017-07-28
29
问题
求解下列方程:
(I)求方程xy”=y’lny’的通解;
(Ⅱ)求yy”=2(y’
2
一y’)满足初始条件y(0)=1,y’(0)=2的特解.
选项
答案
(I)此方程不显含y.令p=y’,则原方程化为xp’=plnp. 当p≠1时,可改写为[*]其通解为 ln|lnp|=ln|x|+C,即lnp=C
1
x,即y’=[*]. 这样,原方程的通解即为[*].其中C
1
≠0,C
2
为任意常数. 当p=1时,也可以得到一族解y=x+C
3
. (Ⅱ)此方程不显含x.令p=y’,且以y为自变量,[*]原方程可化为[*] 当p≠0时,可改写为[*]解为p一1=C
1
y
2
再利用p=y’,以及初始条件,可推出常数C
1
=1.从而上述方程为变量可分离的方程 y’=1+y
2
, 其通解为y=tan(x+C
2
). 再一次利用初始条件y(0)=1,即得[*]所以满足初始条件的特解为[*]
解析
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考研数学一
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