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设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足.则f(x)的表达式是____________.
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足.则f(x)的表达式是____________.
admin
2014-05-19
55
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足
.则f(x)的表达式是____________.
选项
答案
f(x)=x
2
(x≥0).
解析
【分析一】由定积分的几何意义知:
由曲线y=f(x),x、y轴及直线x=t>0所围成的曲边梯形的面积,
由曲线x=g(y),y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积.x=g(y)与y=f(x)互为反函数,代表同一条曲线,它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t)),见右图于是
因此tf(t)=t
3
,f(t)=t
2
(t≥0),即f(x)=x
2
(x≥0).【分析二】先化简题设方程的左端式子,有
于是
即tf(t)=t
3
,f(t)=t
2
(t≥0).因此f(x)=x
2
(x≥0).【分析三】将题设方程两边求导得
即f(t)+g[f(t)]f
’
(t)=3t
2
,f(t)+tf
’
(t)=3t
2
,亦即[tf(t)]
’
=3t
2
(原方程中令t=0,等式自然成立,不必另加条件).将上式积分得
因f(t)在[0,+∞)上连续,故必有C=0.因此f(x)=x
2
(x≥0).
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考研数学二
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