2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)>0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足．则f(x)的表达式是____________．

设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)>0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足．则f(x)的表达式是____________．

admin2014-05-19  31
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)>0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足．则f(x)的表达式是____________．
选项
答案f(x)=x2(x≥0)．
解析 【分析一】由定积分的几何意义知：由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t>0所围成的曲边梯形的面积，由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积．x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见右图于是因此tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，即f(x)=x2(x≥0)．【分析二】先化简题设方程的左端式子，有于是即tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)．因此f(x)=x2(x≥0)．【分析三】将题设方程两边求导得即f(t)+g[f(t)]f’(t)=3t2，f(t)+tf’(t)=3t2，亦即[tf(t)]’=3t2(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)．将上式积分得因f(t)在[0，+∞)上连续，故必有C=0．因此f(x)=x2(x≥0)．
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考研数学二

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