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设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2,3,-1)T与α2=(1,a,2a)T,A*是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A*-2E)χ=0的通解.
设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2,3,-1)T与α2=(1,a,2a)T,A*是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A*-2E)χ=0的通解.
admin
2018-06-12
94
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α
1
=(2,3,-1)
T
与α
2
=(1,a,2a)
T
,A
*
是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A
*
-2E)χ=0的通解.
选项
答案
由A的特征值是1,2,-1,可知行列式|A|=-2,那么A
*
的特征值是-2,-1,2.于是 [*] 从而A
*
-2E~[*] 所以r(A
*
-2E)=r(∧)=2.那么,(A
*
-2E)χ=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成. 又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A
*
属于λ=2的特征向量,亦即A
*
-2E属于λ=0的特征向量. 由于A是实对称矩阵,不同特征值的特征向量相互正交.设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α
3
=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,则有 [*] [*]a=-2[*]α
3
=(2,-1,1)
T
. 所以齐次方程组(A
*
-2E)χ=0的通解是:k(2,-1,1)
T
,其中k为任意实数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CTg4777K
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考研数学一
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