2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，－1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1＝(2，3，－1)T与α2＝(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A*－2E)χ＝0的通解．

设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，－1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1＝(2，3，－1)T与α2＝(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A*－2E)χ＝0的通解．

admin2018-06-12  56
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，－1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1＝(2，3，－1)T与α2＝(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A*－2E)χ＝0的通解．
选项
答案由A的特征值是1，2，－1，可知行列式｜A｜＝－2，那么A*的特征值是－2，－1，2．于是 [*] 从而A*－2E～[*] 所以r(A*－2E)＝r(∧)＝2．那么，(A*－2E)χ＝0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成． 又因矩阵A属于λ＝－1的特征向量就是A*属于λ＝2的特征向量，亦即A*－2E属于λ＝0的特征向量． 由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ＝－1的特征向量是α3＝(χ1，χ2，χ3)T，则有 [*] [*]a＝－2[*]α3＝(2，－1，1)T． 所以齐次方程组(A*－2E)χ＝0的通解是：k(2，－1，1)T，其中k为任意实数．
解析
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考研数学一

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