已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

admin2020-12-10 30

问题已知η₁，η₂,η₃，η₄是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

选项 A、η₁+η₂，η₂一η₃，η₃一η₄，η₄一η₁
B、η₁+η₂，η₂一η₃，η₃一η₄，η₄+η₁
C、η₁+η₂，η₂+η₃，η₃一η₄，η₄一η₁
D、η₁，η₂,η₃，η₄的等价向量组．

答案A

解析等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关．例如向量组η₁，η₂,η₃，η₄，η₁+η₂与向量组η₁，η₂,η₃，η₄等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系．故D不正确．B、C均线性相关，因此不能是基础解系．故B与C也不正确．注意到：(η₁+η₂)一(η₂一η₃)一(η₃一η₄)一(η₄+η₁)=0，(η₁+η₂)一(η₂+η₃)+(η₃一η₄)+(η₄一η₁)=0，唯有A，η₁+η₂，η₂一η₃，η₃一η₄，η₄一η₁是Ax=0的解，又由(η₁+η₂，η₂一η₃，η₃一η₄，η₄一η₁)=(η₁，η₂,η₃，η₄)

，且

知η₁+η₂，η₂一η₃，η₃一η₄，η₄一η₁线性无关，且向量个数与η₁，η₂,η₃，η₄相同．所以A也是Ax=0的基础解系．故选A．

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考研数学二

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