已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

admin2020-12-10  33

问题 已知η1,η23,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

选项 A、η12,η2一η3,η3一η4,η4一η1
B、η12,η2一η3,η3一η4,η41
C、η12,η23,η3一η4,η4一η1
D、η1,η23,η4的等价向量组.

答案A

解析 等价向量组不能保证向量个数相同,因而不能保证线性无关.例如向量组η1,η23,η4,η12与向量组η1,η23,η4等价,但前者线性相关,因而不能是基础解系.故D不正确.B、C均线性相关,因此不能是基础解系.故B与C也不正确.注意到:(η12)一(η2一η3)一(η3一η4)一(η41)=0,(η12)一(η23)+(η3一η4)+(η4一η1)=0,唯有A,η12,η2一η3,η3一η4,η4一η1是Ax=0的解,又由(η12,η2一η3,η3一η4,η4一η1)=(η1,η23,η4),且知η12,η2一η3,η3一η4,η4一η1线性无关,且向量个数与η1,η23,η4相同.所以A也是Ax=0的基础解系.故选A.
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