设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．

admin2017-12-31 62

问题设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2

x²f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．

选项

答案令φ(x)＝x²f(x)，由积分中值定理得f(1)＝[*]x²f(x)dx＝c²f(c)．其中c∈[0,[*]]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝2xf(x)＋x²f’(x)，所以2ξf(ξ)＋ξ²f’(ξ)＝0．注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．

解析

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考研数学三

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