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已知齐次线性方程组(i)为 齐次线性方程组(ii)的基础解系为ξ1=[一1,1,2,4]T,ξ2=[1,0,1,1]T. (1)求方程组(i)的基础解系; (2)求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(i),
已知齐次线性方程组(i)为 齐次线性方程组(ii)的基础解系为ξ1=[一1,1,2,4]T,ξ2=[1,0,1,1]T. (1)求方程组(i)的基础解系; (2)求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(i),
admin
2019-05-14
37
问题
已知齐次线性方程组(i)为
齐次线性方程组(ii)的基础解系为ξ
1
=[一1,1,2,4]
T
,ξ
2
=[1,0,1,1]
T
.
(1)求方程组(i)的基础解系;
(2)求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(i),(ii)的基础解系线性表示.
选项
答案
(1)对齐次线性方程组(i)的系数矩阵作初等行变换,得 [*] 其同解方程组为 [*] 由此解得方程组(i)的基础解系为 η
1
=[2,-1,1,0]
T
,η
2
=L-1,1,0,1]
T
. (2)由(1)解得方程组(i)的基础解系η
1
,η
2
.于是,方程组(i)的通解为 k
1
η
1
+k
2
η
2
=k
1
[2,-1,1,0]
T
+k
2
[-1,1,0,1]
T
(k
1
,k
2
为任意常数). 由题设知,方程组(ii)的基础解系为ξ
1
,ξ
2
,其通解为 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=l
1
[-1,1,2,4]
T
+l
2
[1,0,1,1]
T
(l
1
,l
2
为任意常数). 为求方程组(i)与(ii)的公共解,令它们的通解相等,即 k
1
[2,-1,1,0]
T
+k
2
[-1,1,0,1]
T
=l
1
[一1,1,2,4]
T
+l
2
[1,0,1,1]
T
. 从而,得到关于k
1
,k
2
,l
1
,l
2
的方程组 [*] 对此方程组的系数矩阵作初等行变换,得 [*] 由此可得,k
1
=k
2
=l
2
,l
1
=0. 所以.令k
1
=k
2
=k,方程组(i),(ii)的非零公共解是 k[2,-1,1,0]
T
+k[-1,1,0,1]
T
=k[1,0,1,1]
T
(k为任意非零常数). 并且,方程组(i),(ii)的非零公共解分别由方程组(i),(ii)的基础解系线性表示为 k(η
1
+η
2
)和0.ξ
1
+kξ
2
.
解析
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考研数学一
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