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  3. 已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

admin2019-01-13  21
问题 已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
选项
答案矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=[*]=(λ一1)(λ一6)(λ+6)， 矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=一6。 由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=一6对应的特征向量分别为 α1=(一2，0，1)T， α2=(1，5，2)T， α3=(1，一1，2)T， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α1，α2，α3单位化，即 [*] 则正交变换矩阵 Q=(γ1，γ2，γ3)=[*] 且二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=y12+6y22一6y32。
解析
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考研数学二

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