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已知二二次型f(x1,x2,x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵。
已知二二次型f(x1,x2,x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵。
admin
2019-01-13
18
问题
已知二二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=4x
2
2
一3x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+8x
2
x
3
。
用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵。
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=(λ一1)(λ一6)(λ+6), 矩阵A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=6,λ
3
=一6。 由(λ
i
E一A)x=0(i=1,2,3)解得特征值λ
1
=1,λ
2
=6,λ
3
=一6对应的特征向量分别为 α
1
=(一2,0,1)
T
, α
2
=(1,5,2)
T
, α
3
=(1,一1,2)
T
, 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以可直接将α
1
,α
2
,α
3
单位化,即 [*] 则正交变换矩阵 Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*] 且二次型x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为f=y
1
2
+6y
2
2
一6y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cfj4777K
0
考研数学二
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