已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

admin2019-01-13 13

问题已知二二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²一3x₃²+4x₁x₂—4x₁x₃+8x₂x₃。
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ一1)(λ一6)(λ+6)，矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6。由(λ_iE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6对应的特征向量分别为 α₁=(一2，0，1)^T， α₂=(1，5，2)^T， α₃=(1，一1，2)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α₁，α₂，α₃单位化，即 [*] 则正交变换矩阵 Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*] 且二次型x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=y₁²+6y₂²一6y₃²。

解析

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考研数学二

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已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

考研数学二

设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z==0．(1)验证f"(u)+=0；(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

设A为10×10矩阵，计算行列式｜A一λE｜，其中E为10阶单位矩阵，λ为常数．

设n阶矩阵A=，则｜A｜=____________．

设A是n×n矩阵，X是任意的n维列向量，B是任意的n阶方阵，则下列说法错误的是()

设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是()

设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×b矩阵，已知A的行向量组的秩为r，证明：r(a)≥r+m一s．

设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：(1)A2；(2)A的特征值和特征向量；(3)A能否相似于对角阵，说明理由．

设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠－1(i＝1，2，…，n)；(2)AB＝BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似对角化．

下列四个物理量中，___________的量纲是相同的。

使肩关节内收的肌是()

A、肾盂扩张B、初期对肾脏无明显影响C、自截肾D、肾乳头和肾实质萎缩E、水囊肾间歇性梗阻表现为（）

A．甲状腺B．肾上腺髓质C．肾上腺皮质束状带D．肾上腺皮质网状带E．肾上腺皮质球状带男性雄激素来自

A．血尿B．高热、休克、惊厥、呼吸衰竭C．头痛、腰痛、眼眶痛D．眼红、腿痛、淋巴结肿大E．术目又寸缓脉流行性出血热表现为()

某管道酸洗前，发现内壁有明显油斑，按规定酸洗前应将管道进行必要处理，其处理方法为(　　)。

下列关于植物激素的叙述，错误的是()。

关于“尊王攘夷”运动，不正确的说法是()。

已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

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设A为10×10矩阵，计算行列式｜A一λE｜，其中E为10阶单位矩阵，λ为常数．

设n阶矩阵A=，则｜A｜=____________．

设A是n×n矩阵，X是任意的n维列向量，B是任意的n阶方阵，则下列说法错误的是()

设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是()

设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×b矩阵，已知A的行向量组的秩为r，证明：r(a)≥r+m一s．

设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：(1)A2；(2)A的特征值和特征向量；(3)A能否相似于对角阵，说明理由．

设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠－1(i＝1，2，…，n)；(2)AB＝BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似对角化．

下列四个物理量中，___________的量纲是相同的。

使肩关节内收的肌是()

A、肾盂扩张B、初期对肾脏无明显影响C、自截肾D、肾乳头和肾实质萎缩E、水囊肾间歇性梗阻表现为（）

A．甲状腺B．肾上腺髓质C．肾上腺皮质束状带D．肾上腺皮质网状带E．肾上腺皮质球状带男性雄激素来自

A．血尿B．高热、休克、惊厥、呼吸衰竭C．头痛、腰痛、眼眶痛D．眼红、腿痛、淋巴结肿大E．术目又寸缓脉流行性出血热表现为()

某管道酸洗前，发现内壁有明显油斑，按规定酸洗前应将管道进行必要处理，其处理方法为( )。

下列关于植物激素的叙述，错误的是()。

关于“尊王攘夷”运动，不正确的说法是()。

已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

某管道酸洗前，发现内壁有明显油斑，按规定酸洗前应将管道进行必要处理，其处理方法为(　　)。