2. 考研
  3. [2009年] (1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)． (2)证明：若函数在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且则f+’+(0

[2009年] (1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)． (2)证明：若函数在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且则f+’+(0

admin2019-03-30  135
问题 [2009年]  (1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)．
    (2)证明：若函数在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且则f+’+(0)存在，且f+’(0)=A．
选项
答案证 (1)证一从待证的结果形式看，可利用罗尔定理证之．为此构造函数F(x)，该函数在[a，b]上满足罗尔定理的条件，其中关键条件是F(a)=F(b)．为此可从几何图形构造辅助函数(见图1．2．4．1)．因直线AB的方程为 [*] 从几何上看，曲线f(x)与直线y显然有两个交点，其纵坐标值相等．基于此，构造辅助函数 [*] 则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=f(a)－[f(a)+0]=0， [*] 从而F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的全部条件．由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使 [*] 即 [*]亦即 f(b)－f(a)=(b－a)f’(ξ)． 证二 将待证结论中的ξ换为x，得到[*]两端积分得 [*] 于是令[*]则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 [*] 由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使F’(ξ)=0，即[*]故 f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)． (2)证一 对任意t∈(0，δ)，函数f(x)在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理，得到 [*] 由于[*]且当t→0+时ξ=0+，故[*]所以f+’(o)存在，且f’(0)=A． 证二 由右导数定义及洛必达法则证之． [*]
解析
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考研数学三

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