设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi-(i=1，2，…，n)。求 (Ⅰ)D(Yi)(i=1，2，…，n)； (Ⅱ)Cov(Yi，Yn)； (Ⅲ)P{Yi+Yn≤0}。

admin2021-01-28 73

问题设X₁，X₂，…，X_n(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Y_i=X_i-

(i=1，2，…，n)。求
(Ⅰ)D(Y_i)(i=1，2，…，n)；
(Ⅱ)Cov(Y_i，Y_n)；
(Ⅲ)P{Y_i+Y_n≤0}。

选项

答案(Ⅰ)D(Y_i)=Cov(Y_i，Y_i)=D(X_i)+D([*])一2Cov(Y_i，[*])=1+1/n-2/n=1-1/n。 [*] (Ⅲ)Y₁+Y_n=X₁+X_n-(2/n)[*]X_i=(1-2/n)X₁-(2/n)X₂-…-(2/n)X_n-1+(1-2/n)X_n。因为X₁，X₂，…，X_n独立且都服从正态分布，所以Y₁+Y_n服从正态分布， E(Y₁+Y_n)=0→P{Y₁+Y_n≤0)=1/2。

解析

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考研数学三

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