2. 考研
  3. (I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex－xy2=0所确定，求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3－sin3x+6y=0所确定，求dy|x=0； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

(I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex－xy2=0所确定，求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3－sin3x+6y=0所确定，求dy|x=0； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

admin2020-03-10  77
问题 (I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex－xy2=0所确定，求
    (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3－sin3x+6y=0所确定，求dy|x=0；
    (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
选项
答案(I)方法1 将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由 (2x+2y·y’)cos(x2+y2)+ex－y2—2xy·y’=0， 得 [*] 方法2 将方程sin(x2+y2)+ex－xy2=0两边同时求全微分并写成f(x，y)dy=g(x，y)dx形式， 则[*]即为所求．由 cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exdx－y2dx－2xydy=0， 得 [*] (Ⅱ)方法1 先用隐函数求导法求出y’，再求微分dy=y’dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得 3x2+3y2y’－3cos3x+6y’=0． 又y|x=0=0，上式中令x=0，y=0解得[*]从而[*] 方法2 利用一阶微分形式的不变性．由 d(x3+y3－sin3x+6y)=0， 即3x2dx+3y2dy－3cos3xdx+6dy=0， 又y|x=0=0，上式中令x=0，y=0解得[*] (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)－y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数． 将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y’=f’·(1+y’)， 即[*] 又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意)，y’是x的函数，f’仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’ =y’f’+(1+y’)f"·(1+y’) =y"f’+(1+y’)2f"， 将[*]代入并解出y"即得[*] 或直接由[*]再对x求导，同样可求得[*]
解析
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考研数学三

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