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设A=,问a,x为何值时,A相似于对角阵,a,x为何值时,A不能相似于对角阵,说明理由.
设A=,问a,x为何值时,A相似于对角阵,a,x为何值时,A不能相似于对角阵,说明理由.
admin
2018-03-30
43
问题
设A=
,问a,x为何值时,A相似于对角阵,a,x为何值时,A不能相似于对角阵,说明理由.
选项
答案
|λE—A|=[*]=(λ一a)λ(λ一2)一3]=(λ一a)(λ一3)(λ+1), 知A有特征值λ
1
=a,λ
2
=3,λ
3
=一1. ①当a≠3且a≠一1时,不论x取何值,A有三个互不相同的特征值,故A能相似于对角阵. 且 [*]. 其中a≠3且a≠一1. ②当a=3时,A有特征值λ
1
=λ
2
=3,λ
3
=1. 当λ
1
=λ
2
=3时, [*] 当x=2时,r(3E—A)=1.A对应λ
1
=λ
2
=3有两个线性无关特征向量,故A能相似于对角阵, 且A~[*] 当x≠2时,r(3E—A)=2.A对应λ
1
=λ
2
=3只有一个线性无关特征向量,故A不能相似于对角阵. ③当a=一1时,A有特征值λ
2
=3,λ
1
=λ
3
=一1. 当λ
1
=λ
3
=一1时, [*] 当x=一6时,r(—E—A)=1.A对应λ
1
=λ
3
=一1有两个线性无关特征向量,故A能相似于对角阵,且A~[*]; 当x≠一6时,r(一E一A)=2.A对应λ
1
=λ
3
=—1只有一个线性无关特征向量,故A不能相似于对角阵.
解析
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考研数学三
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