证明：方程x5＋x－1＝0只有一个正根．

admin2019-03-12 88

问题证明：方程x⁵＋x－1＝0只有一个正根．

选项

答案证：令f(x)＝x⁵＋x－1，显然，f(x)处处连续且可导．因f(0)＝－1，f(1)＝1，故由连续函数零点定理知，在区间(0，1)内有一点x。，使得f(x。)＝0，即方程x⁵＋x－1＝0有正根．若方程还有另一根x₁，即f(x₁)＝0，则由罗尔定理知，必存在一点ε，使得fˊ(ε)＝0．然而对一切x，fˊ(x)＝5x⁴－1＞0，这就证明了方程x⁵＋x－1＝0的根是唯一的．

解析

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考研数学三

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考察级数，p为常数．(Ⅰ)证明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)证明：级数anp当p＞2时收敛，当p≤2时发散．
求下列复合函数的偏导数：(Ⅰ)设u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，且f和g具有一阶连续偏导数，求；(Ⅱ)设z=f(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求．
设f(x，y)与φ(y)均是二次可微函数．若z=f(x，y)，其中y=y(x)是由方程x=y+φ(y)所确定，求．
设F(x)=，试求：(Ⅰ)F(x)的极值；(Ⅱ)曲线y=F(x)的拐点的横坐标；(Ⅲ)∫—23x2F’(x)dx．
求下列方程满足给定条件的特解：(Ⅰ))yt+1一yt=2t，y0=3；(Ⅱ)yt+1+4yt=17cos，y0=1．
设f(x)在(a，b)内可导，且又f(x0)＞0(＜0)，f(x)＜0(＞0)(如图2．12)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．
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设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy’（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）

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