2. 考研
  3. 设y=f(x)在点x0的某邻域内具有连续的4阶导数,若f’(x0)=f"(x0)=f"(x0)=0,且f(4)(x0)＜0,则________。

设y=f(x)在点x0的某邻域内具有连续的4阶导数,若f’(x0)=f"(x0)=f"(x0)=0,且f(4)(x0)＜0,则________。

admin2022-09-05  23
问题 设y=f(x)在点x0的某邻域内具有连续的4阶导数,若f’(x0)=f"(x0)=f"(x0)=0,且f(4)(x0)＜0,则________。
选项 A、f(x)在点x0取极小值
B、f(x)在点x0取极大值
C、点(x0,f(x0))为曲线y= f(x)的拐点
D、f(x)在点x0的某邻域内单调减少
答案B
解析 因为y=f(x)在点x0的某邻域内具有连续的4阶导数，且f(4)(x0)＜0,故存在x0的一个δ邻域(x0－δ，x0+δ),当x∈（x0－δ，x0+δ)时，f(4)(x)＜0,并有泰勒公式
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+f"(x0)(x－x0)2+f"’(x0)(x－x0)3+f(4)(ξ)(x－x0)4
=f(x0)+f(4)(ξ)(x－x0)4(ξ在x0与x之间)
由此得知
当x∈(x0－δ，x0+δ)时，f(x)≤f(x0).
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考研数学三

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