2. 考研
  3. 设A＝， (Ⅰ)若矩阵A正定，求a的取值范围； (Ⅱ)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型χTAχ为标准形，并写出所用坐标变换．

设A＝， (Ⅰ)若矩阵A正定，求a的取值范围； (Ⅱ)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型χTAχ为标准形，并写出所用坐标变换．

admin2018-06-12  23
问题 设A＝，
    (Ⅰ)若矩阵A正定，求a的取值范围；
    (Ⅱ)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型χTAχ为标准形，并写出所用坐标变换．
选项
答案(Ⅰ)由A的特征多项式 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋a－2)2(λ－2a－2)， 得到矩阵A的特征值是λ1＝λ2＝2－a，λ3＝2a＋2． 那么A正定[*]a∈(－1，2)． (Ⅱ)满足矩阵A正定的正整数a＝1，那么 [*] 此时，矩阵A的特征值是λ1＝λ2＝1，λ3＝4． 对于λ＝1，由(E－A)χ＝0， [*] 得到属于λ＝1的特征向量α1＝(－1，1，0)T，α2＝(－1，0，1)T． 对于A=4，由(4E－A)χ＝0， [*] 得到属于λ＝4的特征向量α3＝(1，1，1)T． 对α1，α2正交规范化处理，有 [*] 则经χ＝Py，有χTAχ＝yT∧y＝y12＋y22＋4y32．
解析
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考研数学一

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