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设A=, (Ⅰ)若矩阵A正定,求a的取值范围; (Ⅱ)若a是使A正定的正整数,求正交变换化二次型χTAχ为标准形,并写出所用坐标变换.
设A=, (Ⅰ)若矩阵A正定,求a的取值范围; (Ⅱ)若a是使A正定的正整数,求正交变换化二次型χTAχ为标准形,并写出所用坐标变换.
admin
2018-06-12
59
问题
设A=
,
(Ⅰ)若矩阵A正定,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a是使A正定的正整数,求正交变换化二次型χ
T
Aχ为标准形,并写出所用坐标变换.
选项
答案
(Ⅰ)由A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ+a-2)
2
(λ-2a-2), 得到矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=2-a,λ
3
=2a+2. 那么A正定[*]a∈(-1,2). (Ⅱ)满足矩阵A正定的正整数a=1,那么 [*] 此时,矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=4. 对于λ=1,由(E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=1的特征向量α
1
=(-1,1,0)
T
,α
2
=(-1,0,1)
T
. 对于A=4,由(4E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=4的特征向量α
3
=(1,1,1)
T
. 对α
1
,α
2
正交规范化处理,有 [*] 则经χ=Py,有χ
T
Aχ=y
T
∧y=y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
.
解析
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考研数学一
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