为清除井底淤泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已知井深30m，抓斗自重力400N，缆绳每米重力为50N，抓斗抓起污泥重力为2 000N，提升速度为3m／s．提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服

admin2022-06-04 82

问题为清除井底淤泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已知井深30m，抓斗自重力400N，缆绳每米重力为50N，抓斗抓起污泥重力为2 000N，提升速度为3m／s．提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?

选项

答案[*] 如图2-3-6所示，将抓起污泥的抓斗提升井口所做的功 W=W₁+W₂+W₃，其中W₁是克服抓斗自重所做的功；W₂是克服缆绳重力所做的功；W₃是克服污泥重力所做的功．由题意知 W₁=30×400=12 000 将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所做的功为 dW₂=50(30-x)dx 从而W₂=∫₀³⁰50(30-x)dx=22 500．在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需做功为 dW₃=3(2000-20t)dt 而将污泥提升至井口共需时间10s，所以 W₃=∫₀¹⁰3(2 000-20t)dt=57 000 因此，共需做功W=W₁+W₂+W₃=91 500(J)．

解析

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考研数学三

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